y%3D0.jpeg "(d^3-3d^2+4)y=0")
Menyelesaikan Persamaan Differential $(d^3-3d^2+4)y=0$
Persamaan differential merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menjelaskan perubahan suatu besaran terhadap waktu atau posisi. Salah satu jenis persamaan differential yang relatif sederhana adalah persamaan differential linear homogen, seperti $(d^3-3d^2+4)y=0$.
Penyelesaian dengan Metode Umum
Untuk menyelesaikan persamaan differential $(d^3-3d^2+4)y=0$, kita dapat menggunakan metode umum yang diketahui, yaitu metode penyelesaian dengan menggunakan fungsi eksponensial. Kita akan mencari fungsi $y=e^{mx}$ yang memenuhi persamaan differential tersebut.
Substitusi $y=e^{mx}$ ke dalam persamaan differential, kita dapatkan:
$(m^3-3m^2+4)e^{mx}=0$
Karena $e^{mx}$ tidak dapat bernilai nol, maka kita dapat menyatakan bahwa:
$m^3-3m^2+4=0$
Menghitung Nilai m
Untuk menghitung nilai $m$, kita dapat faktorkan polinomial di atas menjadi:
$(m-1)(m-2)(m-2)=0$
Dari sini, kita dapatkan nilai $m$ adalah:
$m=1, 2, 2$
Karena kita memiliki tiga nilai $m$ yang berbeda, maka kita dapat menulis solusi umumnya sebagai:
$y=c_1e^x+c_2e^{2x}+c_3xe^{2x}$
di mana $c_1, c_2, c_3$ adalah konstanta arbitrer.
Kesimpulan
Dengan menggunakan metode umum dan menghitung nilai $m$, kita dapat menyelesaikan persamaan differential $(d^3-3d^2+4)y=0$ dan mengetahui bahwa solusi umumnya adalah $y=c_1e^x+c_2e^{2x}+c_3xe^{2x}$.
